Sumários
11 Março 2022, 17:30
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Rita Sousa
O problema de Cauchy para a equação do calor na reta: o problema da (não) unicidade de soluções e primeiras soluções particulares. Condições suficientes do comportamento da solução no infinito para a a solução do problema de Cauchy ser única. O método da separação das variáveis permite obter soluções para o problema periódico num intervalo de comprimento
l
para a equação do calor com condição inicial desenvolvida em série de Fourier. Fazendo
l
tender para infinito obtém-se heuristicamente a fórmula de Fourier que fornece uma fórmula para a solução do
problema de Cauchy para a equação do calor na reta. A transformada de Fourier e a sua inversa para funções integráveis na reta real. A sua utilização para a obtenção da
do
problema de Cauchy para a equação do calor na forma da convolução do núcleo de Gauss-Weierstrass com condições iniciais de ordem exponencial. Primeiros exemplos e proposta de trabalho para casa: E
xercícios 95 a 101
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5 Março 2022, 11:00
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Rita Sousa
As séries de Fourier de senos e de cosenos e a extensão por imparidade e por paridade das funções reais. Aplicação à resolução do problema de Dirichlet homogéneo para a equação do calor por séries de senos e do problema de Neumann por séries de cosenos. Exemplos. Redução da equação parabólica com coeficientes constantes à equação do calor-o caso da equação de Black-Scholes. O princípio de Duhamel e o método das expansões em funções próprias para a resolução da equação não homogénea do calor. O princípio da sobreposição para a resolução do problema com condições gerais não homogéneas - casos de Dirichlet e de Neumann. Unicidade de solução destes dois problemas para a equação do calor num intervalo limitado geral, que se pode sempre reduzir ao caso canónico.
Indicações para as resoluções dos exercícios 74 a 94.
5 Março 2022, 09:00
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Rita Sousa
As séries de Fourier de senos e de cosenos e a extensão por imparidade e por paridade das funções reais. Aplicação à resolução do problema de Dirichlet homogéneo para a equação do calor por séries de senos e do problema de Neumann por séries de cosenos. Exemplos. Redução da equação parabólica com coeficientes constantes à equação do calor-o caso da equação de Black-Scholes. O princípio de Duhamel e o método das expansões em funções próprias para a resolução da equação não homogénea do calor. O princípio da sobreposição para a resolução do problema com condições gerais não homogéneas - casos de Dirichlet e de Neumann. Unicidade de solução destes dois problemas para a equação do calor num intervalo limitado geral, que se pode sempre reduzir ao caso canónico.
Indicações para as resoluções dos exercícios 74 a 94.
25 Fevereiro 2022, 19:30
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Rita Sousa
Tipos admissíveis das soluções separáveis da equação do calor unidimensional. Condições iniciais (ou de Cauchy) e condições na fronteira (de Dirichlet, de Neumann e de Fourier, esta equivocadamente chamada de Robin) para a a equação do calor. Exemplos de problemas com a utilização do princípio da sobreposição, baseado na linearidade das equações, para a resolução de problemas não homogéneos, i.e. com dados não nulos. Séries trigonométricas e a questão das suas convergências, pontual, uniforme ou em média quadrática, i.e., no espaço de Lebesgue L^2(a,b)). Relações de ortogonalidade neste espaço das funções seno e cosseno. As fórmulas de Fourier para os coeficientes das séries trigonométricas de uma função integrável num intervalo [-L, L]. Exemplos de séries de Fourier e o caso das funções seccionalmente contínuas.
Indicações sobre as soluções dos exercícios 60 a 73.
25 Fevereiro 2022, 17:30
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Rita Sousa
Tipos admissíveis das soluções separáveis da equação do calor unidimensional. Condições iniciais (ou de Cauchy) e condições na fronteira (de Dirichlet, de Neumann e de Fourier, esta equivocadamente chamada de Robin) para a a equação do calor. Exemplos de problemas com a utilização do princípio da sobreposição, baseado na linearidade das equações, para a resolução de problemas não homogéneos, i.e. com dados não nulos. Séries trigonométricas e a questão das suas convergências, pontual, uniforme ou em média quadrática, i.e., no espaço de Lebesgue L^2(a,b)). Relações de ortogonalidade neste espaço das funções seno e cosseno. As fórmulas de Fourier para os coeficientes das séries trigonométricas de uma função integrável num intervalo [-L, L]. Exemplos de séries de Fourier e o caso das funções seccionalmente contínuas.
Indicações sobre as soluções dos exercícios 60 a 73.
