Sumários
Funções de mais de uma variável e otimização
20 Abril 2023, 13:00 • Rita Sousa
- Reta tangente a uma curva de nível num ponto.
- Introdução ao estudo de extremos livres de funções reais de mais de uma variável real.
- Noção de máximo local, de mínimo local e de ponto de sela.
- Noção de máximo absoluto e de mínimo absoluto.
- Pontos críticos ou estacionários de uma função.
- Introdução ao estudo da classificação de pontos críticos de uma função.
- Apresentação de exemplos e resolução de exercícios de consolidação dos conceitos abordados.
- Esclarecimento de dúvidas.
Lecture 27
20 Abril 2023, 11:00 • Rita Sousa
THEORY
- Extending the notion of directional derivate and gradient vector to real functions of three real variables;
- The gradient vector of a differentiable function (of three real variables) at a point as the direction along which the directional derivative at that same point is maximal;
- The length of the gradient vector of a differentiable function (of three real variables) at a point as the maximal value of the directional derivative at that point;
- Notion of perpendicularity between a vector and a surface (both on ordinary space) at a point of that same surface;
- Perpendicularity between the gradient vector of a differentiable function (of three real variables) at a point and the level surface passing through that same point;
- An application to analytic geometry:
- Surfaces on the ordinary space as level surfaces of some given real function of three real variables;
- An equation of the tangent plane to a (level) surface (of some differentiable function of three real variables) at a point (using the gradient, at that same point, of the given differentiable function).
- The symmetric equations of the normal line to a (level) surface (of some differentiable function of three real variables) at a point.
PRACTICE
The following exercises from the CUP - Week 9 were discussed:
- Ex. 7 and 8
BIBLIOGRAPHY
Section 14.6 of James Stewart, "Calculus, Early Transcendentals", International Metric Edition, 8th Edition, 2017, Cengage Learning.
Aula TP 27
20 Abril 2023, 11:00 • Rita Sousa
Plano tangente a superfícies de nível.
Reta normal a superfícies de nível.
Exemplos.
Exercícios 7 e 8 da PUC (semana 9).
Aula 26
20 Abril 2023, 11:00 • Rita Sousa
Maximizando a derivada direcional.
Planos tangentes a superfícies de nível.
Aula 27
20 Abril 2023, 08:00 • Rita Sousa
TEORIA
- Extensão da definição de derivada direcional e de vetor gradiente para funções reais de três variáveis reais;
- Interpretação do vetor gradiente de uma função real diferenciável num ponto enquanto direcção e sentido segundo os quais a derivada direccional nesse mesmo ponto é máxima;
- Interpretação da norma do vetor gradiente de uma função diferenciável num ponto enquanto valor máximo da derivada direcional nesse mesmo ponto;
- Definição de vetor (no plano) perpendicular a uma superfície num ponto dessa mesma superfície;
- Perpendicularidade entre o vetor gradiente de uma função diferenciável num ponto e a superfície de nível que contém esse mesmo ponto;
- Aplicação à geometria analítica:
- Interpretação de superfícies no espaço enquanto superfícies de nível para alguma função real de três variaveis reais;
- Descrição de uma equação do plano tangente a uma superfície (de nível de alguma função diferenciável) num ponto (utilizando o vetor gradiente, nesse mesmo ponto, da respetiva função diferenciável);
- Descrição de uma equação da reta normal a uma superfície (de nível de alguma função diferenciável) num ponto (utilizando o vetor gradiente, nesse mesmo ponto, da respetiva função diferenciável).
PRÁTICA
Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 9:
- Ex. 7, 8 (discussão geral)
BIBLIOGRAFIA
Secção 14.6 do livro James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 7a Edição Norte Americana, 2013, Cengage Learning.