Sumários

Lecture 23

29 Março 2023, 09:30 • Rita Sousa

THEORY

- Differentiability of a real function of two real variables at a point of its domain:

  • Definition of a real function of two variables being differentiable at a point of its domain;
  • Differentiability at a point as a sufficient condition for continuity at that same point;
  • Existence and continuity of partial derivatives as a sufficient condition for differentiability;

- Tangent planes and linear approximations:

  • Definition of tangent plane to a surface at a given point in that same surface;
  • Sufficient condition for the existence of a tangent plane to the graph of a real fuction of two real variables at a point (a,b, f(a,b)): continuity of partial derivatives in a neighborhood around (a,b);
  • A cartesian equation for the tangent plane to the graph of a given real function of two real variables at a given point;
  • The linearization of a real function of two real variables around a point in its domain;
  • The linear approximation of a real function of two real variables around a point in its domain;

PRACTICE

The following exercises from the CUP - Week 8 were discussed:

- Ex. 1, 2 and 3

BIBLIOGRAPHY

Section 14.4 and 14.5 of James Stewart, "Calculus, Early Transcendentals", International Metric Edition, 8th Edition, 2017, Cengage Learning.

Aula 23

29 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa

TEORIA

- Planos tangentes e aproximações lineares:

  • Definição de plano tangente a uma superfície num dado ponto dessa mesma superfície;
  • Critério suficiente de existência de plano tangente ao gráfico de uma função real f de duas variáveis reais num ponto (a,b, f(a,b)): continuidade das derivadas parciais na vizinhança de (a,b);
  • Equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de uma função real de duas variáveis reais num dado ponto;
  • Definição de linearização de um função real de duas variáveis reais em torno de um ponto do seu domínio;
  • Definição de aproximação linear de uma função real de duas variáveis reais em torno de um ponto do seu domínio;

PRÁTICA

Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 8:

- Ex. 1, 2 e 3

BIBLIOGRAFIA

Secções 14.4 e 14.5 do livro James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 7a Edição Norte Americana, 2013, Cengage Learning.

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29 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa

Derivatives of higher order. Clairaut's theorem.
Exercises 8, 9 (c) and 10 from CUP (week 7).
Tangent planes.
Exercise 1 from CUP (week 8).
Linear Approximations. Differentiability.

Cálculo diferencial

28 Março 2023, 16:00 • Rita Sousa

[23] (TP)

Planos tangentes. Aproximações lineares. Diferenciabilidade. Regra de derivação da função composta.

14.4(2), 14.4(11), 14.5(1)

Aula 23

28 Março 2023, 14:30 • Rita Sousa

Aproximações lineares de funções de mais do que uma variável. Relação com plano tangente. Diferenciabilidade: conceito, definição e critérios práticos.