Sumários
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28 Março 2023, 11:00 • Rita Sousa
Continuity of functions of two variables. Exercise 4 from CUP (week 7).
Functions of three or more variables - Limits and continuity.
Partial derivatives - Definition, notations and geometric interpretation. Examples.
Exercises 6, 7 and 9 from CUP (week 7).
Lecture 22
28 Março 2023, 09:30 • Rita Sousa
THEORY
- The second-order partial derivatives of a real function of two real variables at a point of its domain: the second-order partial derivative functions and the second-order mixed partial derivatives;
- Computational examples of the partial derivative functions and second-order partial derivative functions for a given real funcion of two real variables;
- Remarking the equality between second-order mixed partial derivatives: Clairaut's Theorem;
- Differentiability of a real function of two real variables at a point of its domain:
- Motivation: existence of partial derivatives at a point as an insufficient condition for continuity at that same point. An example;
PRACTICE
The following exercises from CUP - Week 7 were discussed:
- Ex. 6, 8 and 9
The following exercises from CUP - Week 8 were discussed:
- Ex. 4
BIBLIOGRAPHY
Section 14.2, 14.3, 14.4 and 14.5 of James Stewart, "Calculus, Early Transcendentals", International Metric Edition, 8th Edition, 2017, Cengage Learning.
Aula TP 21
28 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa
Derivadas parciais. Definição, notações e interpretação geométrica. Cálculo de derivadas parciais. Exemplos.
Derivadas parciais de ordem superior.
Teorema de Clairaut.
Resolução dos exercícios 6 (22) e (32), 7, 8 e 9 (a) e (b) da PUC da semana 7.
Aula 22
28 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa
TEORIA
- Definição de derivadas parciais de uma função real de duas (e três) variáveis reais num ponto do seu domínio; definição das respetivas funções derivada parcial;
- Permanência das regras de derivação para o cálculo das derivadas parciais e exemplos;
- Exemplos de cálculo das funções derivada parcial e derivada parcial de segunda ordem de uma função real de duas variáveis reais: constatação da igualdade entre derivadas parciais cruzadas;
- Teorema de Clairaut;
- Diferenciabilidade de uma função real de duas variáveis reais num ponto do seu domínio:
- Motivação: existência das derivadas parciais num ponto como condição insuficiente para a continuidade nesse mesmo ponto: estudo de um exemplo;
- Definição de função real de duas variáveis reais diferenciável num ponto do seu domínio;
- Diferenciabilidade num ponto enquanto critério suficiente de continuidade nesse mesmo ponto.
- Existência e continuidade das derivadas parciais enquanto critério suficiente de diferenciabilidade.
PRÁTICA
Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 7:
- Ex. 8 e 9
Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 8:
- Ex. 4
BIBLIOGRAFIA
Secções 14.2, 14.3, 14.4 e 14.5 do livro James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 7a Edição Norte Americana, 2013, Cengage Learning.