Sumários

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20 Abril 2023, 08:00 • Rita Sousa

Tangent planes to level surfaces.
Normal lines to level surfaces.
Examples.
Exercises 7 and 8 from CUP (week 9).

Aula TP 26

19 Abril 2023, 09:30 • Rita Sousa

Derivadas direcionais.
Maximizando derivadas direcionais.
Exemplos. Exercício 4 da PUC (semana 9).
Plano tangente a superfícies de nível.
Exercício 7 a).

Lecture 26

19 Abril 2023, 09:30 • Rita Sousa

THEORY

- The gradient field of a real function of two real variables: some examples;

- The gradient vector of a differentiable function at a point as the direction along which the directional derivative at that same point is maximal;

- The length of the gradient vector of a differentiable function at a point as the maximal value of the directional derivative at that point;

- Notion of perpendicularity between a vector and a curve (both on the plane) at a point of that same curve;

- Perpendicularity between the gradient vector of a differentiable function at a point and the level curve passing through that same point;

- An application to analytic geometry:

  • Curves on the plane as level curves of some given real function of two real variables;
  • An equation of the tangent line to a (level) curve (of some differentiable function) at a point (using the gradient, at that same point, of the given differentiable function).

PRACTICE

The following exercises from the CUP - Week 9 were discussed:

- Ex. 2 and 4

BIBLIOGRAPHY

Section 14.6 of James Stewart, "Calculus, Early Transcendentals", International Metric Edition, 8th Edition, 2017, Cengage Learning.

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19 Abril 2023, 08:00 • Rita Sousa

Directional derivatives and the gradient vector.
Exercise 3 (CUP, week 9).
Maximizing the directional derivatives.
Examples. Exercise 4 (CUP, week 9).

Aula 26

19 Abril 2023, 08:00 • Rita Sousa

TEORIA

- O campo gradiente de uma função real de duas variáveis reais: exemplos;

- Interpretação do vetor gradiente de uma função diferenciável num ponto enquanto direcção e sentido segundo os quais a derivada direccional nesse mesmo ponto é máxima;

- Interpretação da norma do vetor gradiente de uma função diferenciável num ponto enquanto valor máximo da derivada direcional nesse mesmo ponto;

- Definição de vetor (no plano) perpendicular a uma curva num ponto dessa mesma curva;

- Perpendicularidade entre o vetor gradiente de uma função diferenciável num ponto e a curva de nível que passa por esse mesmo ponto;

- Aplicação à geometria analítica:

  • Interpretação de curvas no plano enquanto curvas de nível para alguma função real de duas variaveis reais;
  • Descrição de uma equação da reta tangente a uma curva (de nível de alguma função diferenciável) num ponto (utilizando o vetor gradiente, nesse mesmo ponto, da respetiva função diferenciável).

PRÁTICA

Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 9:

- Ex. 2, 4

BIBLIOGRAFIA

Secção 14.6 do livro James Stewart, "Cálculo, Volume 2", Tradução da 7a Edição Norte Americana, 2013, Cengage Learning.