Lecture 14

8 Março 2023, 09:30 • Rita Sousa

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THEORY

- Definition of similar matrices;

- The characteristic polynomial as an invariant of matrix similarity;

- Definition of diagonalizable matrix;

- First diagonalizibility criterion: existence of a linearly independent set of eigenvectors with size equal to the order of the matrix: examples;

- Definition of algebraic multiplicity and geometric multiplicity of an eigenvalue: examples;

- Relation between algebraic multiplicity and geometric multiplicity of an eigenvalue;

- Second diagonalization criterion: equality between algebraic and geometric multiplicities for each eigenvalue;

- Aplication of the second criterion: diagonalizability of matrices which have exactly as many eigenvalues as their order.

PRACTICE

The following exercises from CUP - 5th Week were discussed:

- Ex. 1

BIBLIOGRAPHY

Sections 5.2, 7.2 and 7.3 of Howard Anton, Chris Rorres, Linear Algebra Applications Version, 10th Edition, 2012, Bookman. ISBN: 978854070169

Aula TP 14

8 Março 2023, 09:30 • Rita Sousa

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Diagonalização de uma matriz.
Multiplicidades algébrica e geométrica.
Método para diagonalizar uma matriz.
Potências de uma matriz diagonalizável.
Resolução dos exercícios 1 e 3.

Aula 14

8 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa

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TEORIA

- Definição de matrizes semelhantes;

- O polinómio característico enquanto invariante das matrizes semelhantes;

- Definição de matriz diagonalizável;

- Primeiro critério de diagonalização: existência de um conjunto linearmente independente de vetores próprios com tamanho igual à ordem da matriz: exemplos;

- Definição de multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um valor próprio: exemplos;

- Relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um valor próprio;

- Segundo critério de diagonalização: igualdade entre as multiplicidades algébricas e geométricas para cada valor próprio;

- Aplicação do segundo critério: matrizes com tantos valores próprios quanto a sua ordem são diagonalizáveis.

PRÁTICA

Resolução dos seguintes exercícios da PUC - Semana 5:

- Ex. 1

BIBLIOGRAFIA

Secções 5.2, 7.3 e 7.4 do livro "Howard Anton, Chris Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, Tradução da 10ª edição, 2012, Bookman".

TP Class 14

8 Março 2023, 08:00 • Rita Sousa

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Diagonalizable matrices.
Algebraic Multiplicity and Geometric Multiplicity
Diagonalizability criterion.
Diagonalization method.
Application: computing powers of square matrices
Resolution of exercises 1 and 3 from CUP of week 5.

Valores e vetores próprios

7 Março 2023, 16:00 • Rita Sousa

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[14] (TP)

Diagonalização. Potência duma matriz. Multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Formas quadráticas.

5.2(22), 5.2(33), 7.3(2b), 7.3(2c), 7.3(4)